高三有一道立体几何复习题，它实质上可以化为下面这道平面几何题。 B
     已知： 四边形 PACB 中，∠A 
     = ∠B = 90°，∠ACB = 60°， P
     PA = 1， PB = 2。 
     求：PC的长。 C A
     回答下列问题。
     1 . 不要参考下段的提示，尽量想出多种不同的解法来解决此题。
     2. 有四位学生分别提供了下列思路。
     高二学生：联结CP，设 ∠PCA=x，列三角方程求解；
     高一学生：三角形PAB和三角形CAB有色共的外接圆，可用余弦定理求出AB的长度，然后用正弦定理求外接圆直径。
     初二学生：分别延长AP与CB，交点是D，再解直角三角形。
     初一学生：以5厘米作单位长度，用三角板作出一个符合条件的精致图形，然后用刻度尺量出PC的长度。
     如果这些思路在本质上与你的方案不同，现在请你根据以上信息把他们的解法复制出来。然后综合评价所有解法的优缺点。 

     给教师的参考答案
     解法一、三角语言：三角方程。
     为了迅速建立已知条件和所求线段长度的关系，高一学生习惯于使用三角方程。 解两个直角三角形。 设 ∠PCA=x，则 ∠PCB=60°-x，而
     PC = 1 / sinx = 2 / sin(60°-x) 
     整理得 sin60°cosx - cos60°sinx = 2sinx
     即 √3 / 2 - cosx - 1/2 sinx = 2sinx 
     √3 cosx = 5 sinx， tgx = √3 / 5。 
     sinx = √21 / 14 ， PC = (2/3)√21。 

     解法二、三角语言：解斜三角形。
     从四边形PCAB对角互补知道∠APB=120°， 然后在△PAB 中用余弦定理得到    AB=√7。 
     因为PC是△ABC的外接圆直径，由正弦定理， AB/sin60°=2R = PC，　           ∴ PC =(2/3)√21。 

     解法三、初二学生只熟悉勾股定理，这个图形被想象成一块扳断一只角的含30°的三角板:
     延长BP、CA交于E，则∠E=30°。
     在Rt△PAE中，∵PA=1，∴PE=2。
     在Rt△EBC中，∵EB=4，∴BC = (4/3)√3。 
     在Rt△PBC中，AC=√PB²+BC² =√4+16/3=√28/3 =(2/3)√21。

     解法四、画个精确的图形，用尺量一量。
     有人不承认上面第四种解法，其实解题就是解决问题，要看你解题的动机是什么。 例如，爱迪生在发明电灯的过程中，要求一位年轻助手求出一个灯泡的容积，那位助手先把灯泡看作一个近似的旋转体，测量必要的数据，想写出母线的方程，然后用高等数学中积分的方法求旋转体的体积。爱迪生等得不耐烦了，把灯泡抢过来，灌满水，再倒进量杯里，求出了水的体积。 
     假如思想更开放些的话，还有第五种解法呢。连题目都看不懂的人也有人交上了令人满意的答卷。这是怎么回事呢？原来他是请人代解的。大家都看到过周围确实有人不止一次用这个办法解题。
     由此想到一个很有启发性的故事：
     国外一位教授要测验他的三位学生的实际能力， 给他们一人发了一个气压计，任务是测量教堂的高度。
     第一位学生把气压计当作气压计来用，他知道在地面附近每升高10米，压强大约降低1毫米水银柱，教授教过一个公式，只要知道教堂顶部和底部的大气压，就可以算出教堂的高度。
     第二位同学的那个气压计是坏的，他不得不爬到教堂顶，一放手，让手中的气压计自由落到地面，同时测定从脱手到落地的时间为t秒（看来这位同学还加用了一只秒表），根据自由落体运动公式，教堂的高度大约等于5t2米。
     第三位同学的气压计没有失灵，但他对物理学没有什么兴趣，他的长处是富有经济头脑。他利用他的公关本领，把气压计送给了教堂管理人，请他把设计图纸出来看看，从中知道了教堂的高度。解题的意思是解决问题，这和有病吃药相同，办法但求适切，不求高深。
     数学内部各分支有自己独特的语言。算术语言、代数语言、三角语言、几何语言、分析语言的风格迥然不同，也有深浅之分，但是高深的解题语言未必高明。下面就是中学生比垮数论专家的一个实例。
     在澳大利亚首都堪培拉举行的第29届国际数学奥林匹克（IMO）有这样一道试题（由原联邦德国命题）：
     正整数a与b使得ab+1整除a²+b²。
     求证：(a²+b²)/(ab+1)是某个正整数的平方。
     为了帮助理解题意，设 ( a² + b² ) / ( ab + 1 ) 的商是正整数 q，那么
当 a = b = 1 时，q = ( 1² + 1² ) / ( 1×1 + 1 ) = 1 = 1²，
当 a = 8，b = 2 时，q = ( 8² + 2² ) / ( 8×2 + 1 ) = 4 = 2²，
当 a = 27，b = 3 时，q = ( 27² + 3² ) / ( 27×3 + 1 ) = 9 = 3²。
     对一般同学来说，这道题太难了，需要非常有创意的思路。当然, 有兴趣的同学可以尝试去钻研一番。
     IMO分两试，每试三道题,，平均每道题的答题时间是一个半小时。上面这道题是第二试的最后一道，一般耗时最多。为了了解这道题的难度， 评委会特地请了东道国的三位数论专家,，他们足足解了四个小时，就是解不出来。 在这届IMO上，中国队的六位选手表现不俗，有两名学生得了金牌，其中两位金牌得主在第二试的四个半小时里完美地解出了连这题在内的三道题。
     这一奇怪的现象并不难解释。解这道题所需的基本零部件不过是一元二次方程根与系数的关系而已,，而这是国内任何初二学生都学过的。难点在于运用一种崭新的解题思路。而那三位数论专家用的是数论中复杂高深的定理， 一些高级零部件，结果失败了。这好象生病服药一样，重要的是对症，不在于药品贵重不贵重。
     那届IMO一位16岁的保加利亚女选手这道题做得很漂亮。下面就介绍她的解法，你大概总能有勇气看懂？
     证明：设 ( a² + b² ) / ( ab + 1 ) = q ( q是正整数 )， ① 
     我们来证明 q 是某一个正整数的平方。下面分两种情况讨论：
　⒈　设 a = b。则 ① 式化为 2a² / ( a² + 1) = q，
于是 ( 2 - q ) a² = q > 0。这样一来，只能有 2 - q > 0，即 q =1 =1²。
     这时 a = b = 1。
　⒉　设 a ≠ b，不妨设 0 < b < a ，则
q = ( a² + b² ) / ( ab + 1 ) ≥ ( a² + b² ) / ( a² + 1) > 1。
     考察方程 x² - bqx + b² - q = 0 ，
它必有正整数根 a，设另一根为 a'，因为 a + a' = bq 是整数，所以 a'必为整数。我们还能证明 a' 非负，否则设 a' ≤ -1，则
( a'² + b² ) = q ( a'b + 1 ) ≤ q ( -b + 1 ) ≤ 0，这不可能。
     ∵ aa'= b² - q， ∴ 0≤a' = (b² - q) / a < ( b/a ) / b < b。
由 ( a² + b² ) / ( ab + 1 ) = q = ( a'² + b² ) / ( a'b + 1 )
可知大于 b 的 a 被换为小于 b 的 a'，而商 q 不变。
     辗转继续这个过程，最后将有
( a² + b² ) / ( ab + 1 ) = (α² + β²) / (αβ+ 1) (α>β≥ 0)，
即 ( a² + b² ) / ( ab + 1 ) = (α² + 0²) / (α·0 + 1) = α²
为某一正整数的平方。