系统动力学

 圆内接三角形的一个磨光变换

圆内接三角形的一个磨光变换

命题/刘定一  解答/林旭阳

有△A₁B₁C₁内接于圆O，现定义一变换如下:

(1)取弧A₁B₁中点为C₁′,弧B₁C₁中点为A₁′,弧C₁A₁中点为B₁′,连结各点得△A₁^/B₁^/C₁^/.

(2)取弧A₁^/B₁^/中点为C₂, 弧B₁^/C₁^/中点为A₂, 弧C₁^/A₁^/中点为B₂, 连结各点得△A₂B₂C₂

以上步骤(1)(2) 为一将△A₁B₁C₁变换到△A₂B₂C₂的完整变换.将上述变换不断进行下去,得△A₂B₂C₂…△A_nB_nC_n…

求:当n→∞时,△A_nB_nC_n的极限位置。

解: 不失一般性,将圆取为以坐标原点为圆心的单位圆 ,并设弧A₁B₁≤弧B₁C₁≤弧C₁A₁。将A₁点放在单位圆与X轴正半轴的交点处,圆上任一M点的位置可用∠XOM的角度的大小来表示.

于是可设A₁=0或2 ,B₁= (0≤ ≤ ),C₁= (2 ≤ ≤ )

    则C₁^/= ,A₁^/= ,B₁^/= ,

∵C₁^/<A₁^/<B₁^/,o<C₁^/≤ , ≤A₁^/≤ , 

< ≤B₁^/≤ ≤ ,

弧A₁B₁^/≥ ≥弧A₁C₁^/

∴A₂不会在第一象限. A₂= ,

显然B₂= ,C₂=

∵A₂在第四象限且弧A₂X<弧B₂X，∴C₂^/= ,A₂^/= ,B₂^/=

观察:

取特定数值,A₁=0或 ,B₁=80゜,C₁=200゜,计算得: A₂=340°,B₂=90°,C₂=210°

A₃=335°,B₃=92.5°C₃=212.5°，A₄=333.75°,B₄=93.125°,C₄=213.125゜

……

可看到A_k-A_k-1的值20、5、1.25、…是个等比数列,q=¼。B_K-B_K-1,C_K-C_K-1亦然,q都为¼.

设:A₁=2 ,B₁= ,C₁= .(0< ≤ ,2 ≤ ≤ ).

C₁^/₌ ,A₁^/= ,B₁^/=

A₂= ,B₂= ,C₂=

d_A=A₂-A₁= ,d_B=B₂-B₁= ,d_c=C₂-C₁=

猜想:

A_N=2 -( )[1+ +…+( )^n-2]= [1-( )^n-1]

B_n= + [1+ +…+( )^n-2 ]= + [1-( )^n-1]

C_n= [1+ +…+( )^n-2]= [1-( )^n-1]

证明:(用数学归纳法)

当n=1、2时,欲证等式显然成立.

若当n=k时欲证等式成立,则:

A_k^/= = [1-( )^k-1]+

B_k^/= = [1-( )^k-1]+

C_k^/= = [1-( )^k-1]+

A_k+1= = + [1-( )^k-1]

由猜想A_k+1= - [1-( )^k]= + [1-( )^k-1]

∴A_k+1成立。同理可证B_k+1、C_k+1成立。

∴原猜想成立

结论:△A_nB_nC_n的极限位置△ABC如下:

A= = － =

B= = =

C= = =