1996年第9期《方法》杂志上的《无奖征答赛先生之二──黑鸦与白鞋之谜：亨普耳悖论》一文引起了我很大兴趣：C.G.Hempel悖论的症结究竟在哪里？
我们知道，悖论(paradox) 有多种理解。它可能是这样一个命题 P，如果它是真的，它就是假的；如果它是假的，它就是真的。罗素悖论就属于这一类。
悖论也可以看作这样一种论证，从直觉的观点看来是完美无疵的，但是却引出了矛盾。Hempel悖论就是这样一种论证，它制造了一个复合命题，即“人们关于确证或支持”的四个看法的合取。然后从中引出两个互相矛盾的结论。
一般认为，许多所谓“悖论”的产生，都是在论证中偷用了至少一个假命题或靠不住的假设。要消除Hempel悖论，就要证明Hempel作出的这个合取是一个假命题，因为只有假命题才能推出两个对立命题同时成立。
为此只要能证明这四种看法中的任何一种是错误的，Hempel悖论就不攻自破了。本文对这四个看法进行了探讨，发现只有看法(1)和(2)成立，而看法(3)和(4)都成问题，从而消除了Hempel悖论。
看法 (1)：观察到一只黑渡鸦，将支持“凡渡鸦皆黑”的见解。
讨论：在传统逻辑中，任何命题要么是真的( 这时我们说命题的真值是1)，要么是假的 (这时我们说命题的真值是0)，二者必居其一。但要声称命题只有1与0这两种真值，必须保证命题中不能以模糊概念混充明晰概念。一旦发生混充，就会产生模糊命题。
混充的情况是经常发生的，例如“三毛是秃子”这一命题中出现了“秃子”这一模糊概念，于是会有些人认为这是个真命题，有些人则认为它是个假命题，反正它的真值肯定不是 1，但也不是 0。一个解决办法是给“秃子”下一个明晰的定义，例如只有三根头发的人必须算是秃子，而有四根头发的人则不算。这是个不能令人信服的办法，开了先例，便要对“还过得去”、“一般”、“很美”之类的模糊概念一一给出硬性的定义。第二个解决办法是放弃命题的二值性，遵照模糊逻辑，认为“三毛是秃子”是一个在区间[0，1]上连续取值的模糊命题。我们称这种模糊命题为“谓词性模糊命题”。
作为“秃子”概念外延的“秃子”集合是个模糊集合，记为A，A的从属函数μA(x)的值表示有x 根头发的某人被当作秃子的可能性程度。如果根据经验或统计，μA(x)＝1，则此人是一致公认的秃子，相应地，“此人是秃子”就是真命题；如果μA(x)＝0，则实际上没有人认为此人是秃子，相应地，“此人是秃子”就是假命题。如果当x＝3时μA(x)＝0.95，即三毛被当作秃子的可能性是0.95，则“三毛是秃子”这一模糊命题的真值相应地也是0.95。
用不完全归纳法得出的全称命题是另一类模糊命题，我们称之为“量词性模糊命题”。例如，“所有天鹅都是白的”就是量词性模糊命题。事实上，正是这个命题引起了人们深层次的思考：人们并没有考察一切天鹅，但在相当长的一段时期内，人们都以为这个命题的真值是 1。后来在澳洲发现了黑天鹅，这个命题的真值立刻降低到 0。于是人们发现自己处于二难境地：黑天鹅事件使人们不愿认可“凡渡鸦皆黑”是真命题，但说它是假命题显然毫无根据。问题出在所谓“所有的渡鸦都是黑的”，实际上它只表达“人们所考察过的所有渡鸦都是黑的”。显然，当“所有S”一词的确切意思不过是指“人们所考察过的所有S”时，“所有”便成了一个模糊概念，这使得“凡渡鸦皆黑”成了一个模糊命题，它的真值既不是1，又不是0，只能取区间[0，1]内的某一值。
用以下算法计算真值是可取的。世界上存在过的渡鸦加上现存的渡鸦的数目M显然是有限的，比如说为106，人们检查过的渡鸦的数目m也很大，设为105，经过那么多次检查，尚未发现非黑的渡鸦。此刻我们可以赋予“凡渡鸦皆黑”(命题p) 以真值V(p)＝ m/M ＝
105/106 ＝ 1/10。只有人们确实已考察过全部渡鸦，而且知道它们都是黑的，上述命题p的真值才达到1。
在我们可以看到，Hempel认可的上述看法(1) 是成立的，“凡渡鸦皆黑”的见解 (命题p)确实需要新的观察的支持，所谓“支持”，不是抽象的，或“道义上的”，而是可操作、可测量的，具体表现为：观察到一只新的黑渡鸦，将使命题p 的真值增加1/106，直到考察完所有渡鸦为止，这时真值已经达到1。
由此可知，真命题不需要也不可能得到任何观察的支持，因为真命题的真值已经为1。[初看上去我们得到的这一结论与“实践是检验真理的唯一标准”相悖，实际上并非如此，因为平日有待检验的真理都是模糊命题，而不是反映理想情况的二值逻辑中的真命题。每一个新的检验，都可能使真值增加，当然也可能使真值突降为0。]
例如，“人们所考察过的所有渡鸦是黑的”(命题p1)是根据经验进行完全归纳得到的，因此不是一个模糊命题，它的真值是1。人们很容易以为观察到一只新的黑渡鸦，将使命题p1得到支持，其实这是一种误解。 因为观察到一只新渡鸦后，命题1的主词的外延中增加了一个元素，从而改变了命题p1的主词，相应得到的是另外一个非模糊的命题p2(虽然从文字上看， 命题p2与命题p1毫无区别)。如果所观察的这只新渡鸦是黑的，则命题p2为真，否则命题p2为假。无论命题p2是真是假，与命题p1已经无关。
看法(2)：观察到一个非黑色而又并非是渡鸦的东西， 会支持“非黑者皆非渡鸦”的见解。
说得明确些，看法(2)是说，观察到一只白鞋， 会支持“非黑者皆非渡鸦”的见解。由上述讨论可知，这个看法也是成立的，同时要注意，世界上存在过的非黑者加上现存的非黑者的数目 N即使不是无限大，也会远远超过渡鸦的数目M(上面设M＝106) ，不妨设N＝1010，而观察到一只白鞋， 得到真命题“这一非黑者不是渡鸦”，对“非黑者皆非渡鸦”(命题q) 的支持仅表现为使该命题的真值增加1/1010，请注意，这比观察到一只新的黑渡鸦，使命题“凡渡鸦皆黑”的真值得到的增量(1/106) 要低四个数量级。
看法(3) ：“凡渡鸦皆黑”和“非黑者皆非渡鸦”是两个相当的见解，因此同一个观察结果对它们要么都支持，要么都不支持，就是说，不会出现同一个观察结果只支持这两个见解中的一个而不支持另一个的情况。
按：“所有的S是P”与“所有的非P都是非S”互为逆否命题，因此二者“相当”*，[*严格说来，所谓“相当”(equivalent)，在二值逻辑中应当译为“等价”，即同真同假；在多值逻辑和模糊逻辑中则译为“等值”，只能理解为真值相等。] 根据二值逻辑中的换质位律，这是正确的。但是如果这两个命题是模糊命题，真值就不相等。“凡渡鸦皆黑”的真值等于人们所观察过的黑渡鸦对所有渡鸦数量之比，“非黑者皆非渡鸦”的真值等于人们所观察过的非黑又不是渡鸦的东西与所有非黑者数量之比。以上面设定的数据为例，这两个真值分别为
m/106与 n/1010，其中m，n为相应的支持观察数。这样看来，看法(3)所持的大前提已经不成立，所得结果也就失去了根据。此外，看法(3) 的结论部分还有一个问题，就是在二值逻辑中处处可以看见“全或无”的痕迹：不但一个命题要么真要么假，而且一个观察(或一个单称命题)对一个全称命题要么支持，要么不支持，从上文的讨论可以看到，在模糊逻辑中需要并可能区分这种“支持”的程度。一般来说，模糊逻辑是不会接受看法(3)这种论断的。
看法 (4)：观察到一只白鞋，不会支持“凡渡鸦皆黑”的见解。
表面上看来，这种看法不错，但它经不起分析。它甚至使我们想起混沌学者 E.N.Lorenz 的著名演讲：“可预言性：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”而他的结论是肯定的。“风马牛不相及”的两件事物完全可能在某一点上具有因果关系。关于看法(4)， 我们抱有类似的观点：虽然在现实中白鞋与黑渡鸦绝少关连，但在逻辑意义上二者的关系并非如此。
另一方面，由上面对看法(2)的讨论可知，观察到一只白鞋，即使对 “非黑者皆非渡鸦” 的支持也是很少的，它只使这一命题的真值增加1/1010。
为什么人们会不假思索地认为，观察到一只白鞋不会支持“凡渡鸦皆黑”的见解呢？因为上面计算过，支持率太低，人们从感觉到知觉到思维必须有一个阈限，小于这一阈限的外界输入都被过滤掉了，在特定场合会形成错觉，然而这种错觉不难通过下列方式消除。
设想世界不是像现在这样，在那个假想世界里只找得到黑色物体，包括黑渡鸦。后来踏破铁鞋，终于找到并确定只存在一件非黑的东西。这时“凡渡鸦皆黑”的主张者们紧张起来了，因为找到的东西是不是一只渡鸦对这个命题的真假具有判决性的意义。后来消息传来了，说找到的那个非黑物是一只白鞋。就靠了这只白鞋，命题“凡渡鸦皆黑”终于成立。能说这一观察不是对“凡渡鸦皆黑”的最有力的支持吗？
因此，我们已经找到了一个反例，它推翻了看法(4)。
Hempel悖论是由于二值逻辑的先天缺陷造成的，在模糊逻辑的视野中，看不到什么悖论。这证实了系统论的一个观点：人们左右为难是由于他们所处层次不当，站得高些就会发现，矛盾已经被超越，超越就是克服，超越才是克服。
1996.12.1.
附: 黑鸦与白鞋之谜：亨普耳悖论
任定成
为正确理解这个难题，首先需要明白三个概念，即证明、确证和否证。我们所说的证明具有最终的含义。证明有两种情况，一种是理论证明，一种是经验证明。一个特殊的结论如果能够从一个尚未发现问题的普遍性见解中推导出来，我们就说这个特殊的结论得到了理论证明。比如，“张三必有一死”这个结论就可以这样来证明：凡人皆有一死，而张三是人，所以张三必有一死。从这里可以看出，理论证明的一个重要条件就是，证明中所利用的普遍性见解必须正确。普遍性见解的正确性不能靠理论证明，而要靠经验证明。一个普遍性的结论如果其中所能包括的所有特殊情况都被人们正确无误地一一观察到，我们就说这个普遍性的结论得到了经验证明。普遍性的结论包括的特殊情况无穷多，所以经验证明往往是不可能的。上面的例子中，“凡人必有一死”这个见解， 就要靠观察以前、现在和将来所有的人是否都有一死来证明。根据一个普通性的见解预见一个新颖的特殊情况，如果确实观察到这个特殊的情况，那么，这个观察就成为一个证据而支持这个普遍性见解，于 是我们就说这个普遍性的见解得到了确证。相反，如果观察到的情况不像所预见 的那样，我们就说这个普遍性的见解被否证。我们要介绍的亨普尔悖论就是一个有关科学中的普遍性见解的确证或支持的难题，所以它又叫做“确证悖论”。
至此，人们关于确证或支持的看法有4个，即：(1)观察到一只黑渡鸦，将支持“凡渡鸦皆黑”的见解；(2)观察到一个非黑色而又并非是渡鸦的东西，会支持“非黑者皆非渡鸦”的见解；(3)“凡渡鸦皆黑”和“非黑者皆非渡鸦”是两个相当的见解，因此同一个观察结果对它们要么都支持，要么都不支持，就是说，不会出现同一个观察结果只支持这两个见解中的一个而不支持这其中的另一个的情况；(4)观察到一只白鞋，不会支持“凡渡鸦皆黑”的见解。
1945年，美国科学哲学家卡尔.亨普尔发现，这4个看法放在—起不相容。比如我们观察到—只白鞋，那么根据(2)，因为白鞋是一件非黑而且并非渡鸦的东西，所以这个观察就会支持“非黑者皆非渡鸦”的见解。根据(3)，这个观察也会支持“凡渡鸦皆黑”的见解，这个结论正好与(4)完全相反。这样就出现了矛盾。由于这个问题是以渡鸦为例提出来的，所以又称为“渡鸦悖论”。
确证在科学中起着非常重要的作用，是科学哲学家们十分重视的问题。半个世纪以来，人们围绕亨普尔悖论已经发表了大量的论文，提出了各种各样的见解，但是迄今却没有一个公认的解决方案出现。
原载《方法》1996年第9期
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